Gradien Garis Yang Sejajar Dengan Garis G Adalah

Gradien Garis Yang Sejajar Dengan Garis G Adalah.


Calon guru belajar matematika radiks SMA mulai sejak
Soal dan Pembahasan Matematika Pangkal Persamaan Garis.

Materi kemiripan garis, boleh jadi salah suatu materi paling kecil publik kita dengar di ilmu hitung. Sejak duduk di Sekolah Menengah Pertama, kemiripan garis sudah diperkenalkan.

Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada pertepatan garis tidaklah sulit, seandainya kita mengimak step by step pembahasan nan kita diskusikan di bawah ini, maka kita akan dengan mudah mengetahui pembahasan soal kemiripan garis dan kita harapkan dapat meningkatkan rahasia nalar atau cara berpikir dalam-dalam kita bikin menyelesaikan tanya-masalah yang kita hadapi pada vitalitas sehari-tahun.

Persamaan garis buat tingkat SMA sangat sering dihubungkan dengan turunan fungsi, karena tercalit dengan gradien garis, lalu akan dikaitkan dengan garis singgung parabola atau garis singgung lingkaran.

Sebelum kita masuk kepada masalah nan berkembang tentang paralelisme garis, sekedar untuk mengingatkan lagi adapun persamaan garis ini, berikut beberapa coretan yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan masalah tentang persamaan garis.


Tulang beragangan UMUM PERSAMAAN GARIS


  • $y=mx+n$ dengan gradien (kemiringan) adalah $m$
  • $ax+by+c=0$ dengan gradien (kemiringan) ialah $m=-\dfrac{a}{b}$

Matematika Dasar Persamaan Garis (*Soal Dari Berbagai Sumber)


GRADIEN GARIS $(m)$


  • Detik garis $g$ melalui titik $A(x_{1},y_{1})$ dan $B(x_{2},y_{2})$ maka $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
  • Saat garis $g$ memotong tunam $x$ di $(b,0)$ dan memotong sumbu $y$ di $(0,a)$ maka $m=-\dfrac{a}{b}$
  • Saat garis $g$ membentuk sudut sebesar $\alpha$ dengan sumbu $x$ positif maka $m=tan\ \alpha$
  • Untuk sebuah maslahat $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ adalah turunan permulaan kurnia bakal $x=a$ yakni $m=f'(a)$

GUBUNGAN DUA GARIS TERHDAP GRADIEN


Kalau garis $g_{1}:y=m_{1}x+c_{1}$ dan garis $g_{2}:y=m_{2}x+c_{2}$, maka bertindak:

  • $m_{1}=m_{2}$ saat $g_{1}$ separas dengan $g_{2}$ atau detik $g_{1} \parallel g_{2}$ maka $m_{1}=m_{2}$;
  • $m_{1} \cdot m_{2}=-1$ detik $g_{1}$ tegak lurus dengan $g_{2}$ atau saat $g_{1} \perp g_{2}$ maka $m_{1} \cdot m_{2}=-1$;
  • $tan\ \alpha=\left| \dfrac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} \cdot m_{2}} \right|$ saat $g_{1}$ dan $g_{2}$ membentuk ki perspektif $\alpha$

Paralelisme GARIS


  • Kalau garis $g$ menyela sumbu-$x$ di noktah $(a,0)$ dan menyusup sumbu-$y$ di titik $(0,b)$ maka garis $g$ ialah $ay+bx=ab$;
  • Jika garis $g$ melangkaui bintik $(0,0)$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ adalah $y=mx$;
  • Jika garis $g$ melangkaui titik $(x_{1},y_{1})$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ ialah $y-y_{1}=m(x-x_{1})$;
  • Kalau garis $g$ melewati bintik $(x_{1},y_{1})$ dan $(x_{2},y_{2})$ maka garis $g$ adalah $\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$;


JARAK TITIK TERHADAP GARIS


  • Jarak titik $A(x_{1},y_{1})$ dengan noktah $B(x_{2},y_{2})$ adalah $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
  • Jarak titik $(x_{1},y_{1})$ dengan garis $ax+by+c=0$ adalah $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$

Biar lebih mantap juga dengan sifat-aturan dasar diatas, mari kita diskusikan beberapa pertanyaan Persamaan Garis berikut๐Ÿ˜Š:

1. Soal SBMPTN 2018 Kode 408 |*Soal Teoretis

Sekiranya garis sentuh kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ di titik $P(a,b)$ dengan $a \lt 0 $ mencelah api-api-y di bintik $Q(0,-2)$, maka $a+b$ adalah…
$\begin{align} (A)\ & 7-4\sqrt{2} \\ (B)\ & 2-2\sqrt{2} \\ (C)\ & 1-2\sqrt{2} \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -8 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ melalui titik $P(a,b)$ sehingga bermain $b=\dfrac{1}{4}a^{2}-1$ atau $4b+4=a^{2}$.

Garis singgung kurva melangkaui tutul $P(a,b)$ dan $Q(0,-2)$ maka garis singgung adalah;

$\begin{align}
\dfrac{y-b}{-2-b} = & \dfrac{x-a}{0-a} \\ \dfrac{y-b}{-2-b} = & \dfrac{x-a}{-a} \\ -ay+ab = & -2x+2a-bx+ab \\ -ay+2x+bx-2a = & 0 \\ -ay+(2+b)x-2a = & 0 \\ m = & \dfrac{2+b}{a} \\ \end{align}$
Karena garis yakni garis singgung kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ maka gradien $m=y’=\dfrac{1}{2}x$ dan gradien garis senggol kurva di titik $P(a,b)$ adalah $m=\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{2}a$.

Berpokok kedua nilai $m$ di atas kita peroleh pertepatan, seumpama berikut;
$\begin{align}
\dfrac{1}{2}a = & \dfrac{2+b}{a} \\ \dfrac{1}{2}a^{2} = & 2+b \\ \dfrac{1}{2}(4b+4) = & 2+b \\ 2b+2 = & 2+b \\ b = & 0

\end{align}$
Untuk $b=0$ maka $a^{2}=4b+4=4$, ponten $a=-2$ atau $a=2$ (TM).

Nilai $a+b=-2+0=-2$

$\therefore$ Pilihan nan sesuai $(D)\ -2$

2. Cak bertanya SBMPTN 2016 Kode 355 |*Soal Lengkap

Suatu garis nan melangkahi titi $(0,0)$ menjatah persegi tingkatan dengan titik-noktah sudut $(1,0),(5,0),(1,12)$ dan $(5,12)$ menjadi dua penggalan yang sama luas. Gradien garis tersebut merupakan…
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & \dfrac{12}{5} \\ (E)\ & 3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Suatu garis yang membagi persegi tinggi jadi dua bagian nan sama merupakan melangkahi tutul $(0,0)$ maka adalah $y=mx$. Jikalau kita gambarkan rendah lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Persamaan Garis (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Persegi tataran nan terbentuk luasnya yakni $4 \times 12=48$ runcitruncit luas dan luas trapesium merupakan seketul luas persegi panjang yakni $24$ satuan luas.
$\begin{align}
24 & = \dfrac{1}{2}\ jumlah\ garis\ sepadan\ \cdot tepi langit \\ 24 & = \dfrac{1}{2}\ (m+5m)(5-1) \\ 24 & = 2(6m) \\ 24 & = 12m \\ m & = 2 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2$

3. Soal SBMPTN 2017 Kode 124 |*Soal Lengkap

Garis singgung semenjak kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ yang melangkaui tutul $(1,-1)$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & x-8y-9=0 \\ (B)\ & x+4y+3=0 \\ (C)\ & 2x-8y-10=0 \\ (D)\ & x+8y+7=0 \\ (E)\ & x-4y-5=0

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ nan melangkahi titik $(1,-1)$ kita misalkan $y-y_{1}=m(x-x_{1})$, sehingga dolan

$y-(-1)=m(x-1)$
$y+1=mx-m$

$y=mx-m-1$

Karena garis $y=mx-m-1$ menyinggung kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D = 0)$;
$\begin{align}
y = & y \\ mx-m-1 = & \dfrac{x}{2-2x} \\ (mx-m-1)(2-2x) = & x \\ 2mx-2m-2-2mx^{2}+2mx+2x -x = & 0 \\ -2mx^{2}+4mx+x-2m-2 = & 0 \\ 2mx^{2}-4mx-x+2m+2 = & 0 \\ 2mx^{2}+(-4m-1)x+2m+2 = & 0

\end{align}$
$\begin{align}
D = & b^{2}-4ac \\ 0 = & (-4m-1)^{2}-4(2m)(2m+2) \\ 0 = & 16m^{2}+8m+1 -16m^{2}-16m \\ 0 = & -8m+1 \\ 8m = & 1 \\ m = & \dfrac{1}{8}
\end{align}$

Persamaan garis yaitu $y=mx-m-1$ sehingga $y=\dfrac{1}{8} x-\dfrac{1}{8}-1$ maupun $8y=x-9$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ x-8y-9=0$

4. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 |*Soal Lengkap

Garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di tutul $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ mencelah sumbu-y di titik $R$. Ponten $a$ yang membuat segitiga sama kaki $PQR$ sma arah adalah…
$\begin{align}
(A)\ & 2\sqrt{3} \\ (B)\ & \sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ (E)\ & \dfrac{1}{4}\sqrt{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Gradien garis senggol kurva $y=3-x^{2}$ merupakan $m=y’=-2x$,
Pron bila garis singgung melintasi tutul $P(-a,b)$ dan $R$ maka $m_{PR}=2a$
Pada saat garis sentuh melalui titik $Q(a,b)$ dan $R$ maka $m_{QR}=-2a$

Garis sentuh $PR$ dan $QR$ saling memotong dan membentuk segitiga sejajar sisi maka sudut yang dibentuk oleh $PR$ dan $QR$ masing-masing terhadap sumbu-$x$ substansial merupakan $60^{\circ}$ dan $120^{\circ}$, sehingga gradien garis $PR$ adalah $m_{PR}=tan\ 60^{\circ}=\sqrt{3}$.

Gradien $PR$ yaitu $m_{PR}=2a$ dan $m_{PR}=\sqrt{3}$ maka $2a=\sqrt{3}$ atau $a=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\therefore$ Seleksian yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

5. Tanya SBMPTN 2015 Kode 605 |*Soal Kamil

Jikalau garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ dan menyinggung kurva $y=x^{2}+4x+5$, maka garis $g$ memotong sumbu-$y$ di titik…
$\begin{align} (A)\ & (0,-4) \\ (B)\ & (0,-1) \\ (C)\ & (0,0) \\ (D)\ & (0,1) \\ (E)\ & (0,4) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis nan sejajar n kepunyaan gradien yang sama, dan garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ maka gradien garis $g$ adalah $m_{g}=2$.

Diketahui juga bahwa garis $g$ menyinggung kurva $y=x^{2}+4x+5$ maka $m_{g}=y’=2x+4$.

Dari nilai $m_{g}=y’=2x+4$ dan $m_{g}=2$ dapat kita tentukan skor $x$ dan $y$ saat $m=2$ yaitu
$\begin{align}
m_{g} & = m_{g} \\ 2x+4 & = 2 \\ 2x & =-2 \\ x & =-1 \\ y & = x^{2}+4x+5 \\ y & = (-1)^{2}+4(-1)+5 \\ y & = 1-4+5 \\ y & = 2
\end{align}$

Garis $g$ adalah garis yang melalui titik $(-1,2)$ dan gradien $m=2$, maka persamaan garis $g$ yakni:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 2(x-(-1)) \\ y-2 & = 2x+2 \\ y-2x & = 4
\end{align}$
Garis $g: y-2x = 4$ menyelang sumbu-$y$ di noktah $(0,4)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ (0,4)$

6. Pertanyaan UM UGM 2014 Kode 522 |*Tanya Eksemplar

Kurva $y=3x-\dfrac{3}{x^{2}}$ memotong tunam $X$ di bintik $P$. Persamaan garis senggol kurva di titik $P$ merupakan…
$\begin{align}
(A)\ & x-9y-9=0 \\ (B)\ & x-9y+9=0 \\ (C)\ & 9x-y-9=0 \\ (D)\ & 9x-y+9=0 \\ (E)\ & 9x+y-9=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kurva $y=3x-\dfrac{3}{x^{2}}$ mencelah sumbu $X$ di $P$ maka berlaku

$\begin{align}
3x-\dfrac{3}{x^{2}} & = 0 \\ 3x^{3}-3 & = 0 \\ x^{3}-1 & = 0 \\ (x-1)(x^{2}+x+1) & = 0
\end{align}$
Riuk suatu angka $x$ yang memenuhi yaitu $x=1$ maka titik $P$ merupakan $(1,0)$

Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ yakni anak adam pertama fungsi kerjakan $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga dapat kita terima:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ & = 3+\dfrac{6}{x^{3}} \\ m & = 3+\dfrac{6}{(1)^{3}} \\ m & = 9
\end{align}$

Garis senggol kurva di titik $P(1,0)$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-0 & = 9(x-1) \\ y & = 9x-9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 9x-y-9=0$

7. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 |*Soal Lengkap

Titik $P$ dan $Q$ masing-masing mempunyai absis $2p$ dan $-3p$ terdapat pada parabola $y=x^{2}-1$. Jika garis $g$ ngeri lurus $PQ$ dan menyinggung parabola tersebut, maka garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik berordinat…
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4p^{2}}-1 \\ (B)\ & -\dfrac{1}{4p^{2}}+1 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{4p^{2}}-1 \\ (D)\ & \dfrac{p^{2}-1}{4} \\ (E)\ & \dfrac{1}{4p^{2}}+1

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Karena absis $2p$ dan $-3p$ terdapat pada parabola $y=x^{2}-1$ maka tutul $P$ adalah $(2p, 4p^{2}-1)$ dan tutul $Q$ ialah $(-3p, 9p^{2}-1)$.

Gradien garis $PQ$ adalah

$\begin{align}
m_{PQ} & = \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ & = \dfrac{9p^{2}-1-(4p^{2}-1)}{-3p-(2p)} \\ & = \dfrac{9p^{2}-1-4p^{2}+1 }{-3p-2p } \\ & = \dfrac{5p^{2} }{5p } \\ & = p
\end{align}$

Garis $g$ kita misalkan $g:y=mx+n$ dan garis $PQ$ tegak harfiah maka

$\begin{align}
m_{PQ} \cdot m_{g} & = -1 \\ p \cdot m_{g} & = -1 \\ m_{g} & = -\dfrac{1}{p }
\end{align}$

Diketahui juga bahwa garis $g:y=-\dfrac{1}{p}x+t$ menyinggung $y=x^{2}-1$ maka

$\begin{align}
-\dfrac{1}{p}x+kaki langit & = x^{2}-1 \\ x^{2}-1 +\dfrac{1}{p}x-cakrawala & = 0 \\ x^{2} +\dfrac{1}{p}x-lengkung langit-1 & = 0 \\ D & = 0 \\ b^{2}-4ac & = 0 \\ \dfrac{1}{p^{2}}-4(1)(-n-1) & = 0 \\ \dfrac{1}{p^{2}}+4n+4 & = 0 \\ 4n & = -\dfrac{1}{p^{2}}-4 \\ n & = -\dfrac{1}{4p^{2}}-1
\end{align}$
Pertepatan garis $g$ ialah $y=-\dfrac{1}{p}x -\dfrac{1}{4p^{2}}-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -\dfrac{1}{4p^{2}}-1$

8. Pertanyaan SBMPTN 2014 Kode 677 |*Soal Lengkap

Garis $l$ punya gradien $2$. Jika $l$ menyinggung grafik fungsi $f(x)=-x^{2}+px+l$ di $x=1$, maka paralelisme $l$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & y=2x-3 \\ (B)\ & y=2x-1 \\ (C)\ & y=2x \\ (D)\ & y=2x+2 \\ (E)\ & y=2x+4

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Gradien garis $l$ yaitu $2$, maka boleh kita misalkan garis $l$ yakni $l: y=2x+n$

Karena garis $l:y=2x+n$ menyinggung $y=-x^{2}+px+1$ di $x=1$ maka:

$\begin{align}
m_{l} & = y’ \\ 2 & = -2x+p \\ 2 & = -2+p \\ 4 & = p
\end{align}$

Garis $l:y=2x+n$ menyinggung $y=-x^{2}+4x+1$ di $x=1$ maka $y=-(1)^{2}+4(1)+1=4$.

Bikin $x=1$ poin $y=4$ maka:

$\begin{align}
y & = 2x+tepi langit \\ 4 & = 2(1) + lengkung langit \\ 2 & = n \\ y & = 2x+n \\ y & = 2x+2
\end{align}$

$\therefore$ Sortiran yang sesuai $(D)\ y=2x+2$

9. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 |*Soal Lengkap

Jika garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di bintik $M(1,3)$ juga merupakan garis singgung parabola $y=x^{2}-6x+k$, maka ponten dari $5-\sqrt{k-1}$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Gradien garis senggol parabola $y=4x-x^{2}$ di noktah $M(1,3)$ adalah $m=4-2x=4-2(1)=2$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-3 & = 2(x-1) \\ y-3 & = 2x-2 \\ y & = 2x+1
\end{align}$

Karena $y = 2x+1$ pula merupakan garis senggol $y=x^{2}-6x+k$ maka

$\begin{align}
m & = y’ \\ 2 & = 2x-6 \\ 8 & = 2x \\ x & = 4 \\ y & = 2x+1 \\ y & = 2(4)+1=9 \\ y & = x^{2}-6x+k \\ 9 & = 4^{2}-6(4)+k \\ 9 & = 16-24+k \\ k & = 9+8=17
\end{align}$

Skor $5-\sqrt{k-1}= 5-\sqrt{17-1}=1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 1$

10. Soal UMB 2012 Kode 270 |*Soal Abstrak

Garis lurus dengan gradien substansial menyela parabola $y=(x-2)^{2}$ di titik $P$ dan $Q$. Takdirnya $Tepi langit(3,5)$ adalah titik perdua ruas garis $PQ$, maka garis $PQ$ adalah…
$\begin{align} (A)\ & y=4x-7 \\ (B)\ & y=3x-4 \\ (C)\ & y=2x-1 \\ (D)\ & y=x+2 \\ (E)\ & y=\dfrac{1}{2}x+3\dfrac{1}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Misal titik $P(x_{1},y_{1})$ dan $Q(x_{2},y_{2})$.

Titik $Lengkung langit(3,5)$ adalah titik paruh $PQ$ sehingga berlaku

$3=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}$ atau $ x_{1}+x_{2}=6$ dan
$5=\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}$ maupun $ y_{1}+y_{2}=10$

Karena titik $P(x_{1},y_{1})$ dan $Q(x_{2},y_{2})$ terletak lega parabola $y=x^{2}-4x+4$ sehingga main-main:
$\begin{array}{c|c|cc}
x_{1}^{2}-4x_{1}+4 = y_{1} & \\ x_{2}^{2}-4x_{2}+4 = y_{2} & (+) \\ \hline

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4(x_{1}+x_{2})+8 = y_{1}+y_{2} & \\ (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-4(6)+8 = 10 & \\ 6^{2}-2x_{1}x_{2}-24 = 2 & \\ 36-2x_{1}x_{2}-24 = 2 & \\ 2x_{1}x_{2} = 10 & \\ x_{1}x_{2} = 5 & \\ x_{1} = 1 & \\ x_{2} = 5 &
\end{array} $

Baca :   Tentukan Jumlah Proton Elektron Dan Neutron Dari Unsur Berikut

$\begin{align}
y_{2} & = x_{2}^{2}-4x_{2}+4 \\ & = 5^{2}-4(5)+4 \\ & = 9 \\ y_{1} & = x_{1}^{2}-4x_{1}+4 \\ & = 1^{2}-4(1)+4 \\ & = 1
\end{align}$

Persamaan garis $PQ$
$\begin{align}
m & = \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ m & = \dfrac{5-1}{3-1} =2 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-1 & = 2(x-1) \\ y & = 2x-2+1 \\ y & = 2x-1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ y=2x-1$

11. Soal SIMAK UI 2011 Kode 213 |*Soal Lengkap

Tutul pada garis $y=3x+10$ yang terdamping dengan tutul $(3,8)$ adalah titik $P$. Jarak titik $P$ dan $(3,8)$ ialah…
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{11}{10} \\ (B)\ & \dfrac{11\sqrt{10}}{10} \\ (C)\ & \dfrac{91}{10} \\ (D)\ & \dfrac{91\sqrt{10}}{10} \\ (E)\ & \dfrac{121\sqrt{10}}{10}

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik $P$ terdapat pada garis $y=3x+10$ dan merupakan jarak nan terdamping dengan titik $(3,8)$, sehingga jarak bintik $P$ dengan titik $(3,5)$ merupakan jarak titik $(3,5)$ dengan garis $y=3x+10$.

Jarak tutul $(x_{1}, y_{1})$ dengan garis $ax+by+c=0$ adalah $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$
Jarak titik $(3,5)$ dengan garis $-3x+y-10=0$ adalah:
$\begin{align}
d & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ & = \left| \dfrac{(-3)(3)+(1)(8)-10}{\sqrt{(-3)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\ & = \left| \dfrac{-9+8-10}{\sqrt{9+1}} \right| \\ & = \left| \dfrac{-11}{\sqrt{10}} \right| \\ & = \dfrac{11}{10}\sqrt{10}

\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{11}{10}\sqrt{10}$

12. Cak bertanya SIMAK UI 2011 Kode 214 |*Soal Lengkap

Tiga buah garis lurus $l_{1},\ l_{2},\ \text{dan}\ l_{3}$ n kepunyaan gradien masing-masing $2,\ 3,\ 4$. Ketiga garis ini memotong sumbu $Y$ di titik yang ekuivalen. Takdirnya jumlah angka $x$ bersumber tutul potong dengan murang $X$ dari ketiga garis adalah $\dfrac{1}{9}$, maka paralelisme garis $l_{2}$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & 117x-39=4 \\ (B)\ & 117x+39=4 \\ (C)\ & 117x-39=-4 \\ (D)\ & 39x+117y=4 \\ (E)\ & 39x-117y=-4

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Tiga buah garis lurus $l_{1},\ l_{2},\ \text{dan}\ l_{3}$ mempunyai gradien tiap-tiap $2,\ 3,\ 4$ dan ketiga garis ini menyusup sumbu $Y$ $(x=0)$ di titik yang sama sehingga boleh kita misalkan:

  • $l_{1}: y=2x+a $
  • $l_{2}: y=3x+a $
  • $l_{3}: y=4x+a $

Takdirnya jumlah nilai $x$ semenjak noktah tusuk dengan murang $X$ $(y=0)$ dari ketiga garis ialah $\dfrac{1}{9}$, maka dapat kita tuliskan:

  • Untuk $l_{1}: y=2x+a $ saat $y=0$ maka berlaku $0=2x+a $ atau $x=-\dfrac{1}{2}a$
  • Lakukan $l_{2}: y=3x+a $ momen $y=0$ maka dolan $0=3x+a $ atau $x=-\dfrac{1}{3}a$
  • Untuk $l_{3}: y=4x+a $ detik $y=0$ maka dolan $0=4x+a $ ataupun $x=-\dfrac{1}{4}a$
  • $\dfrac{1}{9}=-\dfrac{1}{2}a- \dfrac{1}{3}a-\dfrac{1}{4}a$
    $\dfrac{1}{9}=-\dfrac{6+4+3}{12}a$
    $\dfrac{1}{9}=-\dfrac{13a}{12} $
    $a=-\dfrac{12}{9 \cdot 13}= -\dfrac{4}{39}$

Persamaan $l_{2}: y=3x+a $ merupakan $l_{2}: y=3x-\dfrac{4}{39} $ atau $39y=117x-4$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 117x-39=4$

13. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 |*Soal Konseptual

Diketahui fungsi kuadrat $f(x)=x^{2}-4x+5$. Dua buah garis singgung di titik yang merupakan perpotongan antara $f(x)$ dan garis $y=5$ takhlik sebuah segitiga dengan garis $y=5$. Maka titik runjam kedua garis singgung tersebut adalah…
$\begin{align}
(A)\ & (-3,2) \\ (B)\ & (-2,3) \\ (C)\ & (2,-3) \\ (D)\ & (3,-2) \\ (E)\ & (3,2)

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dua biji zakar garis senggol di titik nan merupakan perpotongan antara $f(x)=x^{2}-4x+5$ dan garis $y=5$, maka titik tusuk tersebut adalah:
$\begin{align}
y & = x^{2}-4x+5 \\ 5 & = x^{2}-4x+5 \\ 0 & = x^{2}-4x \\ 0 & = (x-4)x \\ x & = 4 \\

x & = 0 \\ \end{align}$
Dua biji kemaluan garis singgung menyinggung $f(x)$ di titik $(0,5)$ dan $(4,5)$ dengan $m=2x-4$.

Persamaan garis singgung pada $(0,5)$
$\begin{align}
m & = 2x-4=-4 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-5 & = -4(x-0) \\ y-5 & = -4x \\ y+4x & = 5
\end{align}$

Persamaan garis singgung sreg $(4,5)$
$\begin{align}
m & = 2x-4=4 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-5 & = 4(x-4) \\ y-5 & = 4x-16 \\ y-4x & = -11
\end{align}$

Titik tusuk kedua garis singgung
$\begin{array}{c|c|cc}
y+4x = 5 & \\ y-4x = -11 & (+) \\ \hline

2y = -6 & \\ y = -3 & \\ y+4x = 5 & \\ -3+4x = 5 & \\ 4x = 5+3 & \\ x = 2
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan nan sesuai adalah $(C)\ (2,-3)$

14. Soal UM UGM 2010 Kode 461 |*Soal Lengkap

Garis singgung kurva $y=x^{4}-x^{2}$ di tutul $(1,0)$ dan $(-1,0)$ bersilang di $(a,b)$. Biji $a-b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dua buah garis senggol kurva $y=x^{4}-x^{2}$ di bintik $(1,0)$ dan $(-1,0)$ meiliki gradien $m=4x^{3}-2x$.

Paralelisme garis sentuh sreg $(1,0)$
$\begin{align}
m = 4x^{3}-2x & = 4(1)^{3}-2(1)=2 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-0 & = 2(x-1) \\ y & = 2x-2
\end{align}$

Kemiripan garis singgung lega $(-1,0)$
$\begin{align}
m = 4x^{3}-2x & = 4(-1)^{3}-2(-1)=-2 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-0 & = -2(x+1) \\ y & = -2x-2
\end{align}$

Tutul potong kedua garis singgung
$\begin{array}{c|c|cc}
y-2x = -2 & \\ y+2x = -2 & (+) \\ \hline

2y = -4 & \\ y = -2 & \\ y+2x = -2 & \\ -2+4x = -2 & \\ 4x = 0 & \\ x = 0
\end{array} $
Bintik potong $(a,b)=(0,-2)$ maka nilai $a-b=0-(-2)=2$

$ \therefore $ Saringan nan sesuai adalah $(B)\ 2$

15. Soal SIMAK UI 2009 Kode 931 |*Cak bertanya Lengkap

Diketahui $l$ adalah garis yang dinyatakan oleh $det(A)=0$ dimana $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2\\

x & y & 1\\

2 & 1 & 3
\end{pmatrix}$, persamaan garis yang sejajar $l$ dan melalui titik $(3,4)$ merupakan…
$\begin{align}
(A)\ & x+y-7=0 \\ (B)\ & x-y+7=0 \\ (C)\ & x-y+1=0 \\ (D)\ & x+y-1=0 \\ (E)\ & x+y+1=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapatkan kemiripan garis $l$ kita kontol minus catatan bikin menentukan determinan matrisk ordo $3 \times 3$ yang nilainya yakni nol.
$0=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 2\\

x & y & 1\\

2 & 1 & 3
\end{vmatrix}\left.\begin{matrix}
1 & 1\\

x & y\\

2 & 1

\end{matrix}\right|$
Persamaan garis $l$ adalah
$(1 \cdot y \cdot 3+1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot x \cdot 1)-(2 \cdot y \cdot 2+1 \cdot 1 \cdot 1+1 \cdot x \cdot 3)=0$
$(3y+2+2x)-(4y+1+3x)=0$
$ 3y+2+2x-4y-1-3x=0$
$ 1-y-x=0$
$ 1-x=y$

Persamaan garis ekuivalen $l$ melalui $(3,4)$
$\begin{align}
m & = -1 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -1(x-3) \\ y-4 & = -x+3 \\ y & = -x+7 \\ \end{align}$

$ \therefore $ Saringan yang sesuai adalah $(A)\ x+y-7=0$

16. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 |*Pertanyaan Komplet

Diketahui $P=\begin{pmatrix}
2 & 1\\

3 & 3
\end{pmatrix}$, $Q=\begin{pmatrix}
-1 & -2\\

1 & 0
\end{pmatrix}$, dan determinan berusul matriks $PQ$ adalah $k$. Jika garis $2x-y=4$ dan $3x-2y=5$ berpotongan di $A$, maka persamaan garis yang melangkahi $A$ dengan gradien $k$ ialah…
$\begin{align}
(A)\ & 6x+y-20=0 \\ (B)\ & 2x-3y-6=0 \\ (C)\ & 3x-2y-4=0 \\ (D)\ & x-6y+16=0 \\ (E)\ & 6x-y-16=0

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Unsur-unsur yang dibutuhkan kerjakan membentuk sebuah persamaan garis adalah sebuah noktah dan gradien. Sekadar gradien bisa kita ketahui setelah sedikit belajar kembali tentang multiplikasi matriks dan determinan matrisk ordo $2 \times 2$, dimana $m=k=|PQ|$

$\begin{align}
m & = |PQ| \\ & = \left | \begin{pmatrix}
2 & 1\\

3 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & -2\\

1 & 0
\end{pmatrix} \right | \\ & = \begin{vmatrix}
-1 & -4\\

0 & -6
\end{vmatrix} \\ & = 6-0=6
\end{align}$

Titik $A$
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-y = 4 & (\times 2) \\ 3x-2y = 5 & (\times 1) \\ \hline

4x-2y = 8 & \\ 3x-2y = 5 & (-) \\ \hline
x = 3 & \\ 3x-2y = 5 & \\ 3(3)-2y = 5 & \\ y = 2
\end{array} $

Kemiripan garis melalui $A(3,2)$ dengan $m=6$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 6(x-3) \\ y & = 6x-18+2 \\ y & = 6x-16
\end{align}$

$ \therefore $ Sortiran yang sesuai adalah $(E)\ 6x-y-16=0$

17. Soal UMB 2012 Kode 270 |*Soal Lengkap

Jika garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+(a+b)$ di titik $(1,-1)$ setinggi dengan garis $2x+y=1$, maka $a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -\dfrac{3}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Karena garis sentuh sejajar dengan garis $2x+y=1$ $(m=-2)$ maka gradien garis singgung adalah $m=-2$, sehingga berperan:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ m & = 2ax+b \\ -2 & = 2a(1)+b \\ -2 & = 2a +b
\end{align}$
Puas titik $(1,-1)$ maka $y=ax^{2}+bx+(a+b)$ berlaku $-1=a(1)^{2}+b(1)+(a+b)$ ataupun $2a+2b=-1$

$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b=-2 & \\ 2a+2b=-1 & (-) \\ \hline

-b=-1\ & 2a+b=-2 \\ b= 1\ & 2a+1=-2\\

& a=\dfrac{-1}{2}
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(C)\ -\dfrac{1}{2}$

18. Soal UM UGM 2008 Kode 482 |*Pertanyaan Lengkap

Kemiripan garis yang melangkahi noktah potong garis-garis $6x-10y-7=0$ dan $3x+4y-8=0$ dan tegak lurus dengan garis nan ke-2 ialah…
$\begin{align} (A)\ & 3y-4x+13=0 \\ (B)\ & 3y-4x+\dfrac{13}{2}=0 \\ (C)\ & 3y+4x-13=0 \\ (D)\ & 3y+4x-\dfrac{13}{2}=0 \\ (E)\ & 3y-4x+10=0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Bintik penggal kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
6x-10y-7=0 & (\times 1) \\ 3x+4y-8=0 & (\times 2) \\ \hline

6x-10y-7=0 & \\ 6x+8y-16=0 & (-) \\ \hline

-18y+9=0 & 6x+8y-16=0 \\ 18y = 9 & 6x+8 \cdot \dfrac{1}{2} -16=0 \\ y =\dfrac{1}{2} & x=2
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $(2,\dfrac{1}{2})$ dan berdiri lurus dengan $3x+4y-8=0$ $(m=-\dfrac{3}{4})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan ialah $m=\dfrac{4}{3}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-\dfrac{1}{2} & = \dfrac{4}{3}(x-2) \\ y-\dfrac{1}{2} & = \dfrac{4}{3} x- \dfrac{8}{3} \\ 3y-\dfrac{3}{2} & = 4 x- 8 \\ 3y-4x-\dfrac{3}{2}+8 & = 0 \\ 3y-4x+\dfrac{13}{2} & = 0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai merupakan $(B)\ 3y-4x+\dfrac{13}{2} = 0$

19. Soal UM UGM 2008 Kode 482 |*Tanya Hipotetis

Agar ketiga garis $3x+2y+4=0$, $x-3y+5=0$ dan $2x+(m+1)y-1=0$ berpotongan di satu titik, maka nilai $m$ haruslah…
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 6
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Agar ketiga garis berpotongan di satu tutul, kita coba dengan mencari titik pancung dua garis, adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
3x+2y+4=0 & (\times 1) \\ x-3y+5=0 & (\times 3) \\ \hline

3x+2y+4=0 & \\ 3x-9y+15=0 & (-) \\ \hline

11y-11=0 & 3x-9y+15=0 \\ 11y = 11 & 3x-9 +15=0 \\ y =1 & x=-2
\end{array} $

Titik potong kedua garis di atas juga harus berlaku pada $2x+(m+1)y-1=0$ hendaknya ketiga garis tersebut berpotongan pada satu titik.
$\begin{align}
2x+(m+1)y-1 & = 0 \\ 2(-2)+(m+1)(1)-1 & = 0 \\ -4+ m+1 -1 & = 0 \\ m -4 & = 0 \\ m & = 4
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan nan sesuai adalah $(D)\ 4$

20. Tanya SNMPTN 2008 Kode 201 |*Soal Konseptual

Persamaan garis senggol plong parabola $y=x^{2}-16x+24$ di titik portongnya dengan upet $Y$ yakni…
$\begin{align} (A)\ & y=-8x+16 \\ (B)\ & y= 8x-48 \\ (C)\ & y=-16x+24 \\ (D)\ & y=-8x+48 \\ (E)\ & y=16x+24 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Parabola $y=x^{2}-16x+24$ mencelah sumbu $Y$ $(x=0)$ adalah puas bintik $(0,24)$

Persamaan garis sentuh yakni:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ & = 4x-16 \\ m & = 4(0)-16 =-16 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-24 & = -16(x-0) \\ y & = -16x+24
\end{align}$

$ \therefore $ Saringan yang sesuai yakni $(C)\ -16x+24$

21. Cak bertanya SNMPTN 2008 Kode 211 |*Cak bertanya Lengkap

Sekiranya $P(2,5)$ merupakan titik sentuh dari garis $y=ax+b$ sreg kurva $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}-x+1$ maka $a+b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Gradien dan garis singgung pada kurva $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}-x+1$ di titik $P(2,5)$ adalah
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ m & = \dfrac{3}{2}x^{2}+x-1 \\ & = \dfrac{3}{2}(2)^{2}+(2)-1 \\ & = 7 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-5 & = 7(x-2) \\ y & = 7x-14+5 \\ y & = 7x-9 \\ \end{align}$
Karena $y=ax+b \equiv y=7x-9$ maka $a+b=-2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ -2$

22. Soal UM UGM 2007 Kode 741 |*Pertanyaan Teladan

Persamaan garis yang melangkaui tutul tetak garis $2x+2y-4=0$ dan $x-2y-5=0$ dan ngeri lurus pada garis $12x+6y-3=0$ adalah $x+by+c=0$ skor $b+c$ ialah…
$\begin{align} (A)\ & -7 \\ (B)\ & -3\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & -1\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik potong kedua garis yakni:
$\begin{array}{c|c|cc}
2x+2y-4=0 & \\ x-2y-5=0 & (+) \\ \hline

3x-9=0 & \\ x=3 & \\ \hline

2x+2y-4=0 & 2(3)+2y-4=0 \\ 2y+2=0 & y=-1
\end{array} $

Garis nan akan kita tentukan melalui $(3,-1)$ dan tegak verbatim dengan $12x+6y-3=0$ $(m=-\dfrac{12}{6}=-2)$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan ialah $m=\dfrac{1}{2}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-(-1) & = \dfrac{1}{2}(x-3) \\ y+1 & = \dfrac{1}{2} x – \dfrac{3}{2} \\ 2y+2 & = x – 3 \\ x-2y-5 & = 0 \\ b+c & = -7
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7$

23. Pertanyaan SPMB 2006 Kode 510 |*Cak bertanya Transendental

Persamaan garis yang melalui titik potong garis $4x+7y-15=0$ dan $14y =9x-4$ serta tegak lurus lega garis $21x+5y=3$ ialah…
$\begin{align}
(A)\ & 21x-5y=3 \\ (B)\ & 11x-21y=5 \\ (C)\ & 5x-21y=-11 \\ (D)\ & 5x+21y=-11 \\ (E)\ & 5x-21y=11

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Baca :   Ancaman Berdimensi Politik Yang Bersumber Dari Dalam Negeri

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
4x+7y-15=0 & (\times 2) \\ -9x+14y+4=0 & (\times 1) \\ \hline

8x+14y-30=0 & \\ -9x+14y+4=0 & (-) \\ \hline

17x-34=0 & \\ x=2 & \\ \hline

4x+7y-15=0 & 4(2)+7y-15=0 \\ 7y-7=0 & y=1
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $(2, 1)$ dan tegak lurus dengan $21x+5y+3$ $(m=-\dfrac{21}{5})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan ialah $m=\dfrac{5}{21}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-1 & = \dfrac{5}{21}(x-2) \\ y-1 & = \dfrac{5}{21} x – \dfrac{10}{21} \\ 21y-21 & = 5x – 10 \\ 5x-21y & = -11
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 5x-21y = -11$

24. Soal SPMB 2006 Kode 411 |*Soal Lengkap

Jika garis $h:\ y=ax+1$ dan $g:\ y=2x-1$ berpotongan tegak lurus di titik $A$, maka koordinat $A$ merupakan…
$\begin{align} (A)\ & (1,1) \\ (B)\ & \left( \dfrac{1}{2},0 \right) \\ (C)\ & \left( \dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5} \right) \\ (D)\ & \left( 1\dfrac{1}{4}, 1\dfrac{1}{2} \right) \\ (E)\ & \left( -1, -3 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis $h:\ y=ax+1$ dan $g:\ y=2x-1$ saling ngeri lurus sehingga perkalian gradien kedua garis adalah $-1$.
$m_{h} \cdot m_{g}=-1$
$m_{h} \cdot 2=-1$
$m_{h} = \dfrac{-1}{2}$
Gradien garis $h$ adalah $\dfrac{-1}{2}$ maka $h:\ y=-\dfrac{1}{2}x+1$ ataupun $h:\ 2y=-x+2$

Bintik runjam kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
2y=-x+2 & (\times 1) \\ y=2x-1 & (\times 2) \\ \hline

2y=-x+2 & \\ 2y=4x-2 & (-) \\ \hline

0=-5x+4 & \\ x=\dfrac{4}{5} & \\ \hline

y=2x-1 & y=2x-1 \\ y=2(\dfrac{4}{5})-1 & y=\dfrac{3}{5}
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan nan sesuai adalah $(C)\ \left( \dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5} \right)$

25. Soal SPMB 2006 Kode 111 |*Soal Transendental

Seandainya garis $h$ memotong sumbu $Y$ di noktah $(0,-8)$ dan berdiri lurus $g:\ x+2y=4$ maka $h$ memotong $g$ di bintik…
$\begin{align} (A)\ & \left( 2,1 \right) \\ (B)\ & \left( 4,0 \right) \\ (C)\ & \left( 3, 0 \right) \\ (D)\ & \left( 5, -1 \right) \\ (E)\ & \left( 6, -1 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis $h$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-8)$, sehingga dapat kita misalkan $h:\ y=mx-8$.

Garis $h:\ y=mx-8$ redup lurus $g:\ x+2y=4$ maka perbanyakan gradien kedua garis adalah $-1$.
$m_{h} \cdot m_{g}=-1$
$m_{h} \cdot \dfrac{-1}{2}=-1$
$m_{h} = 2$
Gradien garis $h$ adalah $2$ maka $h:\ y=2x-8$ atau $h:\ 2x-y=8$

Tutul potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y=4 & (\times 2) \\ 2x-y=8 & (\times 1) \\ \hline

2x+4y=8 & \\ 2x-y=8 & (-) \\ \hline

5y=0 & \\ y=0 & \\ \hline

x+2y=4 & x=4
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan nan sesuai ialah $(C)\ \left( 4,0 \right)$

26. Soal SPMB 2005 Kode 610 |*Pertanyaan Sempurna

Jika garis $(x-2y)+a(x+y)=a$ sejajar dengan garis $(5y-x)+3a(x+y)=2a$ maka konstanta $a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -\dfrac{1}{5} \\ (C)\ & \dfrac{1}{5} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis $(x-2y)+a(x+y)=a$ bisa kita sederhanakan menjadi
$\begin{align}
(x-2y)+a(x+y) & =a \\ x-2y +ax+ay & =a \\ (1+a)x+(a -2)y & =a \\ m\ & = -\dfrac{1+a}{a-2}
\end{align}$

Garis $(5y-x)+3a(x+y)=2a$ dapat kita sederhanakan menjadi
$\begin{align}
(5y-x)+3a(x+y) & =2a \\ 5y-x +3a x+3ay & =2a \\ (3a-1)x+(5+3a)y & =a \\ m\ & = -\dfrac{3a-1}{5+3a}
\end{align}$

Kedau garis di atas yaitu sejajar maka gradien kedua garis adalah sepadan.
$\begin{align}
-\dfrac{1+a}{a-2} & = -\dfrac{3a-1}{5+3a} \\ (1+a)(5+3a) & = (3a-1)(a-2) \\ 5+3a+5a+3a^{2} & = 3a^{2}-6a-a+2 \\ 5+8a+ & = -7a+2 \\ 15a & = -3 \\ a & = \dfrac{-3}{15}=-\dfrac{1}{ 5} \\ \end{align}$

$ \therefore $ Sortiran yang sesuai ialah $(B)\ -\dfrac{1}{5}$

27. Pertanyaan SPMB 2005 Kode 610 |*Soal Transendental

Persamaan garis nan memotong parabola $y=x^{2}+2x-1$ di $x=1$ dan $x=-2$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & y=x+1 \\ (B)\ & y=x-1 \\ (C)\ & y=-x+1 \\ (D)\ & y=-x-1 \\ (E)\ & y=2x-1

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menentukan garis nan memotong parabola $y=x^{2}+2x-1$ di $x=1$ dan $x=-2$, kita cari koordinat titik potongnya secara lengkap.
$\begin{align}
(x=1) & y =x^{2}+2x-1 \\ & y =1^{2}+2(1)-1 \\ & y =2 \\ (x=-2) & y =x^{2}+2x-1 \\ & y =(-2)^{2}+2(-2)-1 \\ & y =-1
\end{align}$

Garis yang melangkaui $(1,2)$ dan $(-2,-1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = \dfrac{-1-2}{-2-1} \\ & = \dfrac{-3}{-3}=1 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 1(x-1) \\ y & = x-1+2 \\ y & = x+1
\end{align}$

$ \therefore $ Sortiran yang sesuai adalah $(A)\ y=x+1 $

28. Soal UM UGM 2005 Kode 621 |*Soal Lengkap

Diketahui bintik $P(a,2)$ terletak puas garis $l:3x-2y+1=0$. Paralelisme garis melangkaui $P$ dan tegak lurus garis $l$ adalah…
$\begin{align} (A)\ & 2x+3y-8=0 \\ (B)\ & 2x+3y-7=0 \\ (C)\ & 2x+3y+2=0 \\ (D)\ & 2x+3y+7=0 \\ (E)\ & 2x+3y+8=0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Noktah $P(a,2)$ terletak puas garis $l:3x-2y+1=0$ sehingga bermain:
$3(a)-2(2)+1=0$

$3a-3=0$

$a=1$

Garis yang akan kita tentukan menerobos $P(1, 2)$ dan mengalir perlahan-lahan lurus dengan $3x-2y+1=0$ $(m=\dfrac{3}{2})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=-\dfrac{2}{3}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = -\dfrac{2}{3}(x-1) \\ y-2 & = -\dfrac{2}{3} x + \dfrac{2}{3} \\ 3y-6 & = -2 x + 2 \\ 3y+2x & = 8
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(A)\ 2x+3y-8=0$

29. Cak bertanya UM UGM 2005 Kode 821 |*Pertanyaan Lengkap

Garis yang melalui bintik potong garis $x+2y-6=0$ dan $3x+2y-2=0$ serta tegak verbatim garis $x-2y=5$ memotong sumbu $x$ di titik…
$\begin{align} (A)\ & (-5,0) \\ (B)\ & (-2,0) \\ (C)\ & (0,0) \\ (D)\ & (2,0) \\ (E)\ & (5,0) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Bintik tikam kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y-6=0 & \\ 3x+2y-2=0 & (-) \\ \hline

-2x-4=0 & \\ x =-2 & \\ \hline

x+2y-6=0 & -2+2y-6=0 \\ 2y-8=0 & y=4
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $(-2, 4)$ dan tegak lurus dengan $x-2y=5$ $(m=\dfrac{1}{2})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=-2 $.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -2(x+2) \\ y & = -2x-4+4 \\ y & = -2x
\end{align}$
Garis $y = -2x$ memotong upet $X$ di titik $(0,0)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ (0,0)$

30. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Pertanyaan Model

Garis $g:\ y=-2x+3$ dan $h:\ y=2x-5$ berpotongan di tutul $A$. Garis $k$ melampaui $A$ dan sejajar dengan $l:\ y=3x+7$. Jika garis $k$ memotong upet $Y$ di titik $(0,b)$, maka $b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\ (B)\ & -5 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 5

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik potong kedua garis yaitu:
$\begin{array}{c|c|cc}
y=-2x+3 & \\ y=2x-5 & (-) \\ \hline

-4x+8=0 & \\ x = 2 & \\ \hline

y=2x-5 & y=2(2)-5 \\ & y=-1
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $A(2, -1)$ dan sejajar dengan $y=3x+7$ $(m=3)$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan merupakan $m=3 $.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y+1 & = 3(x-2) \\ y & = 3x-6-1 \\ y & = 3x-7
\end{align}$
Garis $y = 3x-7$ menyelit tunam $Y$ di titik $(0,b)$, maka $b=-7$

$ \therefore $ Pilihan nan sesuai adalah $(A)\ -7$

31. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal Lengkap

Jika $A(3,2)$, $B(-2,0)$ dan $C(2,1)$, maka persamaan garis nan melelui titik $A$ dan tegak lurus $BC$ merupakan…
$\begin{align}
(A)\ & y=-4x+10 \\ (B)\ & y=-4x+5 \\ (C)\ & y= 4x-1 \\ (D)\ & y=-4x+14 \\ (E)\ & y= 4x-14

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Gradien garis $BC$ melintasi $B(-2,0)$ dan $C(2,1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ m_{BC} & = \dfrac{1-0}{2+2} \\ & = \dfrac{1}{4}
\end{align}$

Garis yang akan kita tentukan melalui $A(3,2)$ dan tegak lurus $BC$ dimana $ m_{BC}=\dfrac{1}{4}$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan ialah $m=-4$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = -4(x-3) \\ y & = -4x+12+2 \\ y & = -4x+14
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ y=-4x+14$

32. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal Transendental

Parabola $y=ax^{2}+bx+1$ menyinggung sumbu $X$. Kalau garis senggol plong parabola tersebut di titik $(0,1)$ kabur lurus $2y=x-1$, maka $a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Gradien garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+1$ di titik $(0,1)$ ialah:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ m & = 2ax+b \\ m & = b
\end{align}$

Diketahui bahwa garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+1$ di bintik $(0,1)$ tegak harfiah $2y=x-1$ $m=\dfrac{1}{2}$ sehingga gradien garis senggol parabola yaitu $m=-2$ maka nilai $b=-2$.

Parabola $y=ax^{2}-2x+1$ menyinggung upet $X$ sehingga $D=b^{2}-4ac=0$

$\begin{align}
b^{2}-4ac & = 0 \\ (-2)^{2}-4(a)(1) & = 0 \\ 4-4a & = 0 \\ 4 & = 4a \\ a & = 1

\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 1$

33. Soal SPMB 2005 Kode 270 |*Pertanyaan Lengkap

Jika $f'(x)=x^{2}+2x$ dan garis $g$ menyinggung kurva $f$ di titik singguung $(1,2)$, maka garis $g$ menyusup tunam $Y$ di bintik…
$\begin{align}
(A)\ & (0,-2) \\ (B)\ & (0,-1) \\ (C)\ & (0,0) \\ (D)\ & (0,1) \\ (E)\ & (0, 2)

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Gradien garis $g$ nan menyinggung $f$ di titik $(1,2)$ adalah:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ m & = x^{2}+2x \\ m & = 1^{2}+2(1) \\ m & = 3
\end{align}$

Paralelisme garis $g$ yang melangkaui bintik $(1,2)$ dengan $m=3$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 3(x-1) \\ y & = 3x-3+2 \\ y & = 3x-1 \\ \end{align}$
Garis $g$ memotong tali api $Y$ di titik $(0,-1)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (0,-1)$

34. Cak bertanya SPMB 2005 Kode 270 |*Cak bertanya Contoh

Jika garis $y=1$ menyinggung parabola $y=ax^{2}+bx+3$ di titik $(-b,1)$, maka $b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2}\ \text{alias}\ \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & -1\ \text{atau}\ 1 \\ (C)\ & -1\ \text{ataupun}\ 3 \\ (D)\ & 1\ \text{atau}\ 3 \\ (E)\ & -2\ \text{atau}\ 2

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis $y=1$ merupakan garis horizontal, sehingga jika menyinggung parabola $y=ax^{2}+bx+3$ di titik $(-b,1)$, maka dapat kita simpulkan bahwa noktah $(-b,1)$ adalah puncak parabola $(x_{p},y_{p})$
$\begin{array}{c|c|cc}
x_{p} = \dfrac{-b}{2a} & y_{p} = \dfrac{-D}{4a} \\ -b = \dfrac{-b}{2a} & 1 = -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ -2ab = -b & -4a = b^{2}-4ac \\ 2a = 1 & -4 \cdot \dfrac{1}{2} = b^{2}-4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3\\ a = \dfrac{1}{2} & -2 = b^{2}-6\\ & b^{2} = 4
\end{array} $

$ \therefore $ Saringan nan sesuai yaitu $(E)\ -2\ \text{alias}\ 2 $

35. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal Lengkap

Garis $g$ sejajar dengan garis $y=-3x+3$ dan menyinggung kurva $y=2x^{2}+x-3$. Sekiranya garis $g$ memotong upet $Y$ di titik $(0,b)$ maka $b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -6 \\ (B)\ & -5 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis $g$ setolok dengan garis $y=-3x+3$ maka gradien garis $g$ adalah $m_{g}=-3$, maka bisa kita misalkan garis $g$ merupakan $g:\ y=-3x+kaki langit$

Garis $g:\ y=-3x+horizon$ juga menyinggung kurva $y=2x^{2}+x-3$, maka diskriminan kemiripan kuadrat persekutuan adalah hampa $(D = 0)$;
$\begin{align}
y = & y \\ 2x^{2}+x-3 = & -3x+n \\ 2x^{2}+x+3x-3-n = & 0 \\ 2x^{2}+4x-3-ufuk = & 0 \\ D = & b^{2}-4ac \\ 0 = & (4)^{2}-4(2)(-3-n) \\ 0 = & 16+24+8n \\ 8n = & -40 \\ n = & -5
\end{align}$

Garis $g:\ y=-3x+falak$ adalah $y=-3x-5$ memotong tunam $Y$ di titik $(0,-5)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -5$

36. Tanya UM UGM 2004 Kode 332 |*Pertanyaan Abstrak

Titik terdekat pada garis $2x-6y=18$ terhadap titik $(1,4)$ adalah…
$\begin{align} (A)\ & \left(-1\dfrac{1}{2},-3\dfrac{1}{2} \right) \\ (B)\ & \left(0,-3 \right) \\ (C)\ & \left( 1\dfrac{1}{2},-2\dfrac{1}{2} \right) \\ (D)\ & \left( 3,-2 \right) \\ (E)\ & \left(9,0 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik terdekat pada garis $2x-6y=18$ terhadap titik $(1,4)$ merupakan noktah hunjam garis yang melalui $(1,4)$ dan tegak literal $2x-6y=18$.

Garis yang akan kita tentukan melalui $(1,4)$ dan remang lurus dengan $2x-6y=18$ $(m= \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan merupakan $m=- 3 $.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -3(x-1) \\ y-4 & = -3x +3 \\ y & = -3 x+7
\end{align}$

Titik potong kedua garis singgung
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-6y=18 & (\times 3) \\ 3x+y = 7 & (\times 2) \\ \hline

6x-18y=54 & \\ 6x+2y = 14 & (-) \\ \hline

-20y = 40 & \\ y = -2 & 3x+y = 7 \\ & 3x-2 = 7 \\ & 3x = 9 \\ & x=3
\end{array} $

Baca :   Abcdef Adalah Segi Enam Beraturan Dengan Pusat O

$ \therefore $ Saringan yang sesuai yaitu $(D)\ \left( 3,-2 \right)$

37. Cak bertanya UM UGM 2004 Kode 322 |*Tanya Teladan

Garis $l$ menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ garis $h$ menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$. Jika $l \perp h $, dan $0 \lt a \lt \dfrac{\pi}{2}$ maka $b-c=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 3-2\sqrt{3} \\ (B)\ & 3- \sqrt{3} \\ (C)\ & \sqrt{3}-3 \\ (D)\ & 2\sqrt{3}-3 \\ (E)\ & 3\sqrt{3}-3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk mengatasi soal ini kita wajib sedikit catatan tentang sosok yaitu jika $y=k\ \text{k=konstanta}$ maka $y’=0$ dan jika $y=cos\ ax$ maka $y’=-a\ sin\ ax$.

Gradien garis $l$ yang menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y’ \\ m & = 2sin\ x \\ m & = 2sin\ a
\end{align}$

Gradien garis $h$ yang menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$ merupakan:
$\begin{align}
m & = y’ \\ m & = -2sin\ x \\ m & = -2sin\ a
\end{align}$

Karena garis $l \perp h $ maka:
$\begin{align}
m_{l} \cdot m_{h} & = -1 \\ 2sin\ a \cdot -2sin\ a & = -1 \\ -4sin^{2}a & = -1 \\ sin^{2}a & = \dfrac{1}{4} \\ sin\ a & = \dfrac{1}{2} \\ a & = 30^{\circ}
\end{align}$

Cak bagi $a = 30^{\circ}$ garis $l$ menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ sehingga:
$\begin{align}
y & = 3-2 cos\ x \\ b & = 3-2 cos\ 30^{\circ} \\ & = 3-2 \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) = 3- \sqrt{3}
\end{align}$

Untuk $a = 30^{\circ}$ garis $h$ menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$ sehingga:
$\begin{align}
y & = 2cos\ x \\ c & = 2cos\ 30^{\circ} \\ & = 2 \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) = \sqrt{3}
\end{align}$

Nilai $b-c$ adalah $3- \sqrt{3}-\sqrt{3}=3-2\sqrt{3}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3-2\sqrt{3}$

38. Cak bertanya UM UGM 2004 Kode 121 |*Cak bertanya Lengkap

Kemiripan garis singgung kurva $y=x^{2}$ di titik cucuk kurva tersebut dengan kurva $y=\dfrac{1}{x}$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & y+2x+1=0 \\ (B)\ & y+2x-1=0 \\ (C)\ & y-2x+1=0 \\ (D)\ & y-2x-1=0 \\ (E)\ & 2y-x+1=0

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik potong kurva $y=x^{2}$ dan kurva $y=\dfrac{1}{x}$
$\begin{align}
y & = y \\ x^{2} & = \dfrac{1}{x} \\ x^{3} & = 1 \\ x^{3} -1 & = 0 \\ x^{3}-1 & = 0 \\ (x-1)(x^{2}+x+1) & = 0
\end{align}$
Keseleo satu biji $x$ yang memenuhi adalah $x=1$ maka $y=x^{2}=1^{2}=1$ sehingga titik potong merupakan $(1,1)$

Persamaan garis singgug kurva $y=x^{2}$ di tutul $(1,1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y’ \\ & = 2x \\ m & = 2(1)=2 \\ \hline
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-1 & = 2(x-1) \\ y & = 2x-2+1 \\ y & = 2x-1

\end{align}$

$ \therefore $ Sortiran yang sesuai merupakan $(C)\ y-2x+1=0$

39. Soal SPMB 2004 Kode 440 |*Soal Acuan

Persamaan garis sentuh pada kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik yang berabsis $1$ yakni…
$\begin{align}
(A)\ & 2x-y+2=0 \\ (B)\ & 2x+y-6=0 \\ (C)\ & 4x-y =0 \\ (D)\ & -2x+y-2=0 \\ (E)\ & -4x-y+6=0

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Paralelisme garis singgung pada kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik yang berabsis $1$, maka ordinatnya ialah $y=1+\dfrac{3}{1}=4$

Persamaan garis singgug kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik $(1,4)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y’ \\ & = 1-\dfrac{3}{x^{2}} \\ m & = 1-\dfrac{3}{1^{2}} \\ & = 1-3=-2 \\ \hline

y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -2(x-1) \\ y & = -2x+2+4 \\ y & = -2x+6

\end{align}$

$ \therefore $ Seleksian yang sesuai merupakan $(B)\ 2x+y-2=0$

40. Soal SPMB 2004 Kode 541 |*Cak bertanya Lengkap

Kemiripan garis singgung pada kurva $y=x^{2}+2x-1$ yang proporsional dengan garis $6x+3y-1=0$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & 4x+2y-5=0 \\ (B)\ & 2x+ y+5=0 \\ (C)\ & 4x+2y+5=0 \\ (D)\ & 2x+y-5=0 \\ (E)\ & 8x+4y-5=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis singgung kurva $y=x^{2}+2x-1$ nan sejajar dengan garis $6x+3y-1=0$ $(m=-\dfrac{6}{3}=-2)$ sehingga:
$\begin{align}
m & = y’ \\ -2 & = 2x+2 \\ -2-2 & = 2x \\ x & = -2 \\ \hline
y & = x^{2}+2x-1 \\ y & = (-2)^{2}+2(-2)-1 \\ y & = 4-4-1=-1
\end{align}$

Persamaan garis senggol yang akan kita tentukan melalui $(-2,-1)$ dan $m=-2$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y+1 & = -2(x+2) \\ y & = -2x-4-1 \\ y & = -2x-5
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 2x+y+5=0$

41. Soal SPMB 2004 |*Soal Abstrak

Paralelisme garis singgung puas kurva $y=x^{2}-4x+5$ yang tegak verbatim garis $y=-2x+3$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & 16y=-8x+35 \\ (B)\ & 16y=-8x-1 \\ (C)\ & 16y=8x-1 \\ (D)\ & 16y=8x-35 \\ (E)\ & 16y=8x+35

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis sentuh kurva $y=x^{2}-4x+5$ merembas lurus dengan garis $y=-2x+3$ dimana gradien kita sebut $m_{1}=-2$, sehingga gradien garis sentuh kurva kita sebut $m_{2}$ ialah:

$\begin{align}
m_{1} \cdot m_{2} & = -1 \\ -2 \cdot m_{2} & = -1 \\ m_{2} & = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

Gradien garis singgung kurva $y=x^{2}-4x+5$ adalah $m_{2} = \dfrac{1}{2}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
y’ & = m_{2} \\ 2x-4 & = \dfrac{1}{2} \\ 4x-8 & = 1 \\ 4x & = 9 \\ x & = \dfrac{9}{4} \\ \hline
y & = x^{2}-4x+5 \\ y & = \left( \dfrac{9}{4} \right)^{2}- 4 \left( \dfrac{9}{4} \right) + 5 \\ y & = \dfrac{81}{16} – 9 + 5 \\ y & = \dfrac{17}{16}

\end{align}$
Paralelisme garis singgung yang akan kita tentukan melewati $\left( \dfrac{9}{4},\dfrac{17}{16}, \right)$ dan $m=\dfrac{1}{2}$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\ y-\dfrac{17}{16} & = \dfrac{1}{2} \left( x-\dfrac{9}{4} \right) \\ 16y-17 & = 8 \left( x-\dfrac{9}{4} \right) \\ 16y & = 8x- 18+17 \\ 16y & = 8x- 1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 16y=8x-1$

42. Tanya UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Sempurna

Pertepatan garis senggol kurva $y=\sqrt{2x+7}$ nan merembas lurus dengan garis $5x+y-10=0$ adalah…
$\begin{align} (A)\ & x-5y+4=0 \\ (B)\ & x-5y+16=0 \\ (C)\ & x-5y+34=0 \\ (D)\ & x+5y-4=0 \\ (E)\ & x+5y-16=0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Jika gradien garis singgung kurva adalah $m_{1}$, gradien garis $5x+y-10=0$ ialah $m_{2}=-5$ dan kedua garis tukar remang lurus maka berlaku:
$\begin{align}
m_{1} \times m_{2}=-1 \\ m_{1} \times -5=-1 \\ m_{1} = \dfrac{1}{5}
\end{align}$

Bikin mendapatkan Pertepatan Garis Sentuh Kurva kita perlu sebuah titik senggol pada kurva dan gradien garis. Gradien kemiripan garis sentuh pada kurva $y=\sqrt{2x+7}$ gradiennya adalah $m=\dfrac{1}{5}$.
$\begin{align}
y & = \sqrt{2x+7} \\ y & = \left( 2x+7 \right)^{\frac{1}{2}} \\ m=y’ & = \frac{1}{2} \left( 2x+7 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 \\ \dfrac{1}{5} & = \left( 2x+7 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ \dfrac{1}{5} & = \dfrac{1}{\sqrt{2x+7}} \\ \sqrt{2x+7} & = 5 \\ 2x+7 & = 25 \\ 2x & = 18 \\ x & = 9 \\ y & = \sqrt{2x+7}\\

&=\sqrt{2(9)+7}=5
\end{align} $

Persamaan garis sentuh kurva melampaui titik $(9,5)$ dengan gradien $m=\dfrac{1}{5}$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\ y-5 & = \dfrac{1}{5} (x-9) \\ 5y-25 & = x-9 \\ 5y-x-25+9 & = 0 \\ 5y-x-16 & = 0 \\ x-5y+16 & = 0
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ x-5y+16=0$

43. Cak bertanya UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Paralelisme garis yang melewati $A(2,-4)$ dan seram lurus dengan garis singgung kurva $y=2x^{2}-3x-6$ pada bintik tersebut adalah…
$\begin{align} (A)\ & 5x-y-14=0 \\ (B)\ & 5x+y-6=0 \\ (C)\ & x+5y-27=0 \\ (D)\ & x+5y+18=0 \\ (E)\ & x-5y-22=0 \\ \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapatkan Persamaan Garis Singgung Kurva kita perlu sebuah titik sentuh sreg kurva dan gradien garis.
$\begin{align}
y & = 2x^{2}-3x-6 \\ m=y’ & = 4x-3 \\ \hline
x=2 \\ \hline
m=4(2)-3=5
\end{align} $

Jika gradien garis sentuh kurva adalah $m_{1}=5$, gradien garis adalah $m_{2}$ dan kedua garis silih merembas lurus maka berlaku:
$\begin{align}
m_{1} \times m_{2}=-1 \\ 5 \times m_{2}=-1 \\ m_{2} = -\dfrac{1}{5}
\end{align}$

Pertepatan garis singgung kurva melangkaui titik $A(2,-4)$ dengan gradien $m=-\dfrac{1}{5}$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\ y-(-4) & = -\dfrac{1}{5} (x-2) \\ -5y-20 & = x-2 \\ -5y-20-x+2 & = 0 \\ -5y-x-18 & = 0 \\ x+5y+18 & = 0
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x+5y+18=0$

44. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diberikan fungsi $f(x)=2x^{3}+3x^{2}+6x+5$. Garis sentuh kurva $y=f(x)$ di titik dengan absis $x=a$ dan $x=a+1$ saling sejajar. Jarak kedua garis senggol tersebut ialah…
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{5}{\sqrt{37}} \\ (B)\ & \dfrac{4}{\sqrt{37}} \\ (C)\ & \dfrac{3}{\sqrt{37}} \\ (D)\ & \dfrac{2}{\sqrt{37}} \\ (E)\ & \dfrac{1}{\sqrt{37}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita wajib sedikit garitan mengenai turunan yaitu jika $y=f(x)$ maka $m=y’=f'(x)$.

Garis yang menyinggung fungsi $f(x)=2x^{3}+3x^{2}+6x+5$ di $x=a$ dan $x=a+1$ adalah setinggi sehingga gradien kedua garis adalah setara, sehingga berlaku:
$\begin{align}
m = f'(x) & = 6x^{2}+6x+6 \\ \hline
x=a\ & \rightarrow m= 6a^{2}+6a+6 \\ x=a+1\ & \rightarrow m= 6(a+1)^{2}+6(a+1)+6
\end{align}$

$\begin{align}
6a^{2}+6a+6 & = 6 a^{2}+12a+6+6 a+6+6 \\ 6a^{2}+6a+6 & = 6 a^{2}+18a+18 \\ -12 & = 12a \\ a & = -1
\end{align}$

Cak bagi $x=a$ kita sambut $x=-1$ maka $y=0$ dan gradien garis singgung adalah $m=y’=6x^{2}+6x+6=6$, pertepatan garis yakni:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\ y-0 & = 6 \left( x+1 \right) \\ y & = 6 x+ 6
\end{align}$

Untuk $x=a+1$ kita peroleh $x=0$ maka $y=5$ dan gradien garis singgung adalah $m=y’=6x^{2}+6x+6=6$, pertepatan garis adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\ y-5 & = 6 \left( x+0 \right) \\ y & = 6 x+5
\end{align}$

Jarak kedua garis adalah jarak titik $(-1,0)$ puas garis $y = 6 x+6$ ke garis $y = 6 x+5$, yaitu:
$\begin{align}
d & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ & = \left| \dfrac{(-6)(-1)+(1)(0)-5}{\sqrt{(-6)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\ & = \left| \dfrac{1}{\sqrt{36+1}} \right| \\ & = \left| \dfrac{1}{\sqrt{37}} \right|
\end{align}$

$\therefore$ Sortiran yang sesuai merupakan $(E)\ \dfrac{1}{\sqrt{37}}$

45. Soal SBMPTN 2016 Kode 249 |*Soal Eksemplar

Garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di tutul $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ menyusup upet-y di titik $R$. Kredit $a$ yang mewujudkan segitiga sama $PQR$ sama arah merupakan…
$\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{3} \\ (B)\ & \sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \sqrt{3} \\ (E)\ & \dfrac{1}{4} \sqrt{3} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita coba mengilustrasikan kurva $y=3-x^{2}$ dan garis singgung di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ seperti berikut ini;

Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPS Tahun 2019

Berpunca susuk di atas garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di bintik $P(-a,b)$ yaitu $PR$ dan $Q(a,b)$ yaitu $QR$ boleh kita hitung grad gradien masing-masing garis dengan menggunakan turunan pertama $m=y’$:

$\begin{align}
y & = 3-x^{2} \\ y’ & = -2x \\ m_{PR} & = -2(-a) = 2a \\ m_{QR} & = -2(a) = 2a
\end{align}$

Nilai gradien garis dapat juga kita hitung dengan menunggangi $m=tan\ \alpha$ dimana $\alpha$ yakni kacamata nan dibentuk garis dengan tali api-$x$ kasatmata.

Karena yang diharapkan segitiga sama kaki $PQR$ menjadi segitiga samasisi maka sudut $PQR=\alpha$ yakni $\alpha=60^{\circ}$ sehingga gradien garis $PR$ adalah:
$\begin{align}
m_{PR} & =tan\ 60^{\circ} \\ 2a & = \sqrt{3} \\ a & = \dfrac{1}{2} \sqrt{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yakni $(C)\ \dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

46. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap

Jikalau garis senggol kurva $ y = x^{3} – 3x^{2} – 9x $ di noktah $ \left(a,b \right) $ punya gradien $15$, maka nilai $ a + b $ yang barangkali adalah…

$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -4 \\ (D)\ & -6 \\ (E)\ & -8 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di noktah $\left(a,b \right)$ merupakan turunan pertama fungsi buat $x=a$ ialah $m=f'(a)$, sehingga Kurva $y = x^{3} – 3x^{2} – 9x $ memppunyai gradien $m=15$ di $ \left(a,b \right) $ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ 15 & = 3x^{2}-6x-9 \\ 15 & = 3(a)^{2}-6(a)-9 \\ 0 & = 3a^{2}-6a-24 \\ 0 & = a^{2}-2a-8 \\ 0 & = \left(a-4 \right)\left(a+2 \right) \\ & a=4\ \text{maupun}\ a=-2 \end{align}$

Kerjakan $ a=4=x$ maka $b=y=(4)^{3} – 3(4)^{2} – 9(4)=-20$.
Nilai $a+b=-16$
Untuk $ a=-2=x$ maka $b=y=(-2)^{3} – 3(-2)^{2} – 9(-2)=-2$.
Nilai $a+b=-4$.

$\therefore$ Saringan yang sesuai $(C)\ -4$

Jika engkau tidak sanggup mencegat lelahnya sparing, Maka anda harus menanggung pahitnya kedunguan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Bawah Persamaan Garis (*Tanya Dari Bineka Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • utas jawaban penilaian harian matematika,
  • utas jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • pengajuan hasil urun pendapat ilmu hitung atau
  • pembahasan quiz matematika di papan bawah.

Bikin segala sesuatu peristiwa yang perlu kita diskusikan terkait 40+ Soal dan Pembahasan Ilmu hitung Pangkal SMA Persamaan Garis silahkan disampaikan ๐Ÿ™
CMIIW๐Ÿ˜Š.

Jangan Tengung-tenging Lakukan Berbagi ๐Ÿ™ Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan
JADIKAN HARI INI Asing BIASA! – WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Gradien Garis Yang Sejajar Dengan Garis G Adalah

Source: https://www.defantri.com/2016/03/matematika-dasar-persamaan-garis.html

Check Also

Dalam Ekosistem Perairan Organisme Yang Berperan Sebagai Produsen Adalah

Dalam Ekosistem Perairan Organisme Yang Berperan Sebagai Produsen Adalah. Home / Biologi / Pertanyaan IPA …