Jumlah Tak Hingga Dari Deret Geometri

Jumlah Tak Hingga Dari Deret Geometri.

Blog Koma


Jajar Geometri Lain Hingga

ialah lajur yang penjumlahannya sampai suku ke tak setakat. Jumlah deretnya mengajuk ririt geometri. Silahkan baca artikel “Barisan dan banjar Geometri”. Sebelumnya sekali lagi kita sudah membahas tentang barisan dan deret aritmetika, untuk nan kepingin mempelajarinya silahkan baca artikel “Barisan dan Jejer Aritmetika”. Berikut penjelasan tentang lajur geometri tidak hingga.

Rumus jumlah tak hingga jejer ilmu ukur

Misalkan cak semau deret $ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + …. \, $ yang dijumlahkan sampai tak sebatas yang disimbolkan dengan $ s_\infty $. Hasil jumlah tak hingganya ($s_\infty$) tergantng dari nilai rasionya ($r$).

a). Jikalau $ r > 1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = + \infty $

b). Jikalau $ -1 < r < 1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $

c). Jika $ r < -1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = – \infty $

Secara umum nilai besaran tak hingga deret geometri dengan rasio $ -1 < r < 1 \, $ yakni        $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} $

Pada penjumlahan deret geometri tak hingga, ada dua istilah yaitu :

1). Konvergen (derek konvergen) syaratnya $ -1 < r < 1 , \, $ artinya total sebatas tak hingganya memberikan hasil angka tertentu (jadinya bukan $ +\infty \, $ atau $ – \infty $)
2). Divergen (deret divergen) syaratnya $ r < -1 \, $ alias $ r > 1 , \, $ artinya kuantitas sampai tidak hingganya memberikan hasil $ +\infty \, $ atau $ – \infty $

Pola :

1). Tentukan hasil penjumlahan dari jejer geometri tak hingga berikut :

a). $ 2 + 4 + 8 + 16 + ….. $

b). $ 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ….. $

c). $ 3 + (-6) + 12 + (-24) + ….. $

Penuntasan :

a). Rasio deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{4}{2} = 2 $

Karena nilai rasionya = 2 ($r>1$), maka ririt ini tertulis divergen dan hasilnya $ + \infty $

Jadi, nilai $ 2 + 4 + 8 + 16 + ….. = \infty $

b). Rasio deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{1}{2} $

Karena nilai rasionya = $ \frac{1}{2} $ ($-1 < r < 1$), maka leret ini termasuk konvergen

Kesudahannya : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{1-\frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 $

Jadi, nilai $ 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ….. = 4 $

c). Perimbangan deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{-6}{3} = -2 $

Karena angka rasionya = -2 ($r < – 1$), maka derek ini teragendakan divergen dan jadinya $ – \infty $

Jadi, nilai $ 3 + (-6) + 12 + (-24) + ….. = – \infty $

2). Diketahui kuantitas tak setakat suatu banjar geometri adalah 6 dan suku pertamanya 2, tentukan nilai rasionya?

Penyelesaian :

Diketahui : $ a = 2, \, $ dan $ s_\infty = 6 $

*). Menentukan nilai rasionya ($r$)

$ \begin{align} s_\infty & = 6 \\ \frac{a}{1-r} & = 6 \\ \frac{2}{1-r} & = 6 \\ 1 – r & = \frac{2}{6} \\ 1-r & = \frac{1}{3} \\ r & = 1 – \frac{1}{3} \\ r & = \frac{2}{3} \end{align} $

Jadi, nilai rasionya adalah $ r = \frac{2}{3} $

Baca :   Gambar Struktur Anatomi Akar Monokotil Dan Dikotil

3). Jika tungkai permulaan deret ilmu ukur tak hingga yaitu $ a \, $ dan jumlahnya 4, maka nilai $ a \, $ nan memenuhi yakni … ?

Penyelesaian :

*). Karena jumlah takhingganya adalah 4 ($s_\infty = 4$) , artinya risikonya bukan $ + \infty \, $ alias $ – \infty \, $ , maka banjar ini termasuk deret konvergen dengan syarat $ -1 < r < 1 $

*). Menentukan hubungan kaki purwa ($ a $) dan $ r \, $ dari jumlah tak hingganya.

$ \begin{align} s_\infty & = 4 \\ \frac{a}{1-r} & = 4 \\ 1-r & = \frac{a}{4} \\ r & = 1 – \frac{a}{4} \end{align} $

*). Substitusikan kerangka $ r = 1 – \frac{a}{4} \, $ ke syarat konvergen :

$ \begin{align} -1 < & r < 1 \\ -1 < 1 – & \frac{a}{4} < 1 \, \, \, \, \text{(jumlahkan -1)} \\ -1 + (-1) < 1 – & \frac{a}{4} + (-1) < 1 +(-1) \\ -2 < – & \frac{a}{4} < 0 \, \, \, \, \text{(kalikan -4, tanda dibalik)} \\ -2 \times (-4) < – & \frac{a}{4} \times (-4) < 0 \times (-4) \\ 8 > & a > 0 \\ 0 < & a < 8 \end{align} $

Catatan : takdirnya pertidaksamaan dikalikan negatif, maka segel ketaksamaan harus dibalik.

Bintang sartan, agar deretnya konvergen, nilai $ a \, $ yang menepati adalah $ 0 < a < 8 $

Deret geometri takhingga suku-suku genap dan suku-suku ganjil

Misalkan ada larik geomeri bukan sebatas $ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 …. \, $

Deret tersebut bisa dibagi menjadi dua adegan yaitu suku-kaki bernomor genap dan gasal

$ \begin{align} s_\infty & = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 …. \\ s_\infty & = (u_1 + u_3 + u_5+… ) + (u_2 + u_4 + u_6 ….) \\ s_\infty & = s_{\infty \text{ ganjil}} + s_{\infty \text{ genap}} \end{align} $

Artinya jumlah takhingga merupakan pembilangan jumlah takhingga nomor ganjil dengan total takhingga nomor genap.

Rumus takhingga nomor gasal dan nomor genap.

$ \begin{align} s_{\infty \text{ gangsal}} & = u_1 + u_3 + u_5+… \\ & = a + ar^2 + ar^3 +… \\ & \left( \text{nisbah} = \frac{ar^2}{a} = r^2 \right) \\ & \left( \text{suku pertama} = a \right) \\ & = \frac{\text{kaki purwa}}{1 – \text{ perimbangan}} \\ s_{\infty \text{ ganjil}} & = \frac{a}{1 – r^2} \end{align} $

Sehingga rumus besaran takhingga nomor ganjil : $ s_{\infty \text{ gasal}} = \frac{a}{1 – r^2} $

$ \begin{align} s_{\infty \text{ genap}} & = u_2 + u_4 + u_6+… \\ & = ar + ar^3 + ar^5 +… \\ & \text{rasio} = \frac{ar^3}{ar} = r^2 \\ & \text{suku pertama} = ar \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ nisbah}} \\ s_{\infty \text{ genap}} & = \frac{ar}{1 – r^2} \end{align} $

Sehingga rumus jumlah takhingga nomor genap : $ s_{\infty \text{ genap}} = \frac{ar}{1 – r^2} $

Menentukan perimbangan berpunca jumlah takhingga nomor ganjil dan genap.

$ \begin{align} \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = \frac{\frac{ar}{1 – r^2}}{\frac{a}{1 – r^2}} \\ & = \frac{\frac{ar}{1 – r^2}}{\frac{a}{1 – r^2}} \\ & = \frac{ar}{1 – r^2} . \frac{1-r^2}{a} \\ & = \frac{ar(1-r^2)}{a(1 – r^2)} \\ \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ gangsal}}} & = r \end{align} $

Artinya untuk menentukan rasionya, cukup gunakan $ r = \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} $

Baca :   Organisasi Bentukan Jepang Yang Dijadikan Alat Untuk Mempersiapkan Kemerdekaan

Teoretis :

Jika total semua suku deret geometri lain hingga yaitu 6, sementara itu jumlah kaki-sukunya yang bernomor genap yaitu 2, maka tentukan tungkai pertama deret tersebut ?

Penyelesaian :

Diketahui : $ s_\infty = 6 \, $ dan $ s_{\infty \text{ genap}} = 2 $

*). Menentukan ponten jumlah suku bernomor gangsal ($s_{\infty \text{ ganjil}}$) dan $ r $

$ \begin{align} s_\infty & = s_{\infty \text{ ganjil}} + s_{\infty \text{ genap}} \\ 6 & = s_{\infty \text{ ganjil}} + 2 \\ s_{\infty \text{ ganjil}} & = 6 – 2 = 4 \\ r & = \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} \\ r & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align} $

*). Menentukan nilai tungkai purwa ($a$)

lakukan menentukan kredit $ a \, $ bisa memperalat $ s_\infty \, $ atau $ s_{\infty \text{ ganjil}} \, $ maupun $ s_{\infty \text{ genap}} $

$ \begin{align} s_\infty & = 6 \\ \frac{a}{1-r} & = 6 \\ a & = 6(1-r) \\ a & = 6(1-\frac{1}{2}) \\ a & = 6(\frac{1}{2}) \\ a & = 3 \end{align} $

Jadi, skor suku pertamanya ialah $ a = 3 $

Penerapan jumlah takhingga banjar geometri pada benda yang dijatuhkan/dilempar

Kejadian pelemparan benda nan dimaksud biasanya bola yang dijatuhkan alias bola dilempar ke atas. Berikut penjelasan dua kasus yang dimaksud :

Bola dilempar ke atas

Misalkan bola dilempar ke atas, terbentuklah lintasan yang dilalui maka dari itu bola tersebut seperti gambar berikut :

pemberitahuan :

$ a = \, $ ketianggian awal yang dicapai oleh bola

$ r = \, $ rasio jalal sesudah terjadi pantulan dari ketinggian sebelumnya.

Semenjak lintasan yang dilalui oleh bola, ada putaran yang naik dan ada putaran nan terban. Masing-masing bagian naik kuantitas panjang lintasannya yaitu $ s_\infty \, $ dan bagian yang turun pula panjang lintasannya $ s_\infty $. Sehingga total panjang lintasan (PL) yang dilalui oleh bola merupakan :

$ \begin{align} \text{total panjang pelintasan} & = \text{Lintasan naik } + \text{ lintasan runtuh} \\ PL & = s_\infty + s_\infty \\ PL & = 2s\infty \\ PL & = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) \\ PL & = \frac{2a}{1-r} \end{align} $

Bola dijatuhkan dari ketinggian awal $ a $

Penyeberangan yang terbentuk detik bola dijatuhkan erat sama dengan pelintasan yang terjaga momen bola dilempar ke atas. Hanya saja satu penyeberangan awal (penyeberangan naik awal) tidak dihitung karena bola sewaktu dijatukan. Berikut gambar lintasannya :

Mulai sejak gambar bola dijatuhkan, terlihat bahwa lintasannya sebagai halnya bola dilempar ke atas, hanya saja satu lintasan naik ($a$) enggak dihitung. Sehingga total tahapan lintasannya yakni :

$ PL = 2s_\infty – a $

$ PL = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) – a $

Baca :   Pertumbuhan Dan Perkembangan Tahap Embrio Pada Hewan Secara Berurutan

Panjang Lintasan sesudah pantulan ke-$k$

Untuk kasus panjang lintasan setelah pantulan ke-$k \, $ baik bola dijatuhkan ataupun dilempar ke atas hasilnya akan selalu setimbang.

Bermula rencana tampak bahwa setelah pantulan ke-1 maka suku pertamanya ialah suku ke-2 ($u_2$), setelah pantulan ke-2 maka suku pertamanya adalah tungkai ke-3 ($u_3$), selepas pantulan ke-3 maka tungkai pertamanya adalah suku ke-4 ($u_4$), dan seterusnya sebatas setelah pantulan ke-$k\,$ maka suku pertamanya adalah suku ke-$k+1\,$ ($u_{k+1}$)

Dapat disusun rumus hierarki lintasannya dengan $ u_n = ar^{n-1} $ :

Janjang pelintasan selepas pantulan ke-1 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} = 2. \frac{u_2}{1 – r} = 2. \frac{ar}{1 – r} $

Panjang penyeberangan setelah pantulan ke-2 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} = 2. \frac{u_3}{1 – r} = 2. \frac{ar^2}{1 – r} $

Janjang lintasan setelah pantulan ke-3 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{kaki pertama}}{1 – \text{ rasio}} = 2. \frac{u_4}{1 – r} = 2. \frac{ar^3}{1 – r} $

dan lebih jauh …..

Tinggi pelintasan setelah pantulan ke-$k$ :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} = 2. \frac{u_{k+1}}{1 – r} = 2. \frac{ar^k}{1 – r} $

Jadi dapat diperumum, panjang lintasan bila bola dijatuhkan ataupun dilempar ke atas setelah pantulan ke-$k \, $ adalah

$ PL = 2 \times \frac{ar^k}{1 – r} $

Sempurna :

1). Sebuah bola dijatuhkan mulai sejak mahamulia 4 m dan memantul kembali menjadi $ \frac{2}{3} \, $ pangkat sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola tersebut sebatas nangkring?

Penyelesaian:

Diketahui : $ a = 4 \, $ dan $ r = \frac{2}{3} $

Tataran lintasannya :

$ \begin{align} PL & = 2s_\infty – a \\ & = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) – a \\ & = 2\left( \frac{4}{1-\frac{2}{3}} \right) – 4 \\ & = 2\left( \frac{4}{\frac{1}{3}} \right) – 4 \\ & = 2\left( 4 . 3 \right) – 4 \\ & = 2\left( 12 \right) – 4 \\ & = 24 – 4 = 20 \end{align} $

Jadi, panjang pelintasan setakat cak jongkok yakni 20 m.

2). Sebuah bola dilempar ke atas sehingga mencapai ketinggian 5 m dan memantul kembali menjadi $ \frac{4}{5} \, $ tingkatan sebelumnya. Tentukan panjang lintasan setelah pantulan ke-3 samapi berhenti?
Penyelesaian :

Diketahui : $ a = 5 \, $ dan $ r = \frac{4}{5} $

Panjang lintasan pasca- pantulan ke-3 ($k = 3$)

$ \begin{align} PL & = 2 \times \frac{ar^k}{1 – r} \\ & = 2 \times \frac{5\left( \frac{4}{5} \right)^3}{1 – \frac{4}{5} } \\ & = 2 \times \frac{5\left( \frac{64}{125} \right)}{ \frac{1}{5} } \\ & = 2 \times 5 \times \frac{64}{125} \times \frac{5}{1} \\ & = \frac{128}{5} \end{align} $

Jadi, panjang lintasan setelah pantulan ke-3 sampai berhenti adalah $ \frac{128}{5} \, $ m.

Jumlah Tak Hingga Dari Deret Geometri

Source: https://www.konsep-matematika.com/2015/09/deret-geometri-tak-hingga.html

Check Also

Kemukakan Manfaat Sig Dalam Keselamatan Masyarakat

Kemukakan Manfaat Sig Dalam Keselamatan Masyarakat. Mas Pur Follow Seorang freelance nan suka membagikan pengetahuan, …